 |
 |
 |
DE TAL FRACTALA FRACTALIS, DE FRACA FRACA TAL FRAC
FRACTALES: LA BELLEZA DEL ORDEN EN MEDIO DEL CAOS
Son figuras geométricas virtuales que anidan en todas partes. Algunas pueden ser descubiertas al mirar a través de un microscopio o mediante una observación atenta del cuarzo de una piedra o de la copa de un árbol. Otras están comprendidas en la supuesta irregularidad de las fluctuaciones de valores de Bolsa. Desde los años 60, época en que se inició la exploración sistemática de los algoritmos fractales, estas curiosas incrustaciones de orden en medio del caos han obsesionado por igual a científicos y artistas.
Pocos años atrás, los fractales
no eran más que un campo de investigación de matemáticos
o el extraño pasatiempo de algún científico en busca
de nuevas intuiciones o de experiencias estéticas originales. Pero
la difusión de programas informáticos que permiten construirlos
han democratizado su exploración, y hoy en día, muchos niños
se entretienen eligiendo un algoritmo al azar y viendo como en la pantalla
comienza a formarse una figura de complejidad y belleza creciente. Incluso
se han formado redes de creadores de fractales que intercambian sus descubrimientos
vía Internet.
La insólita belleza de estos objetos
geométricos y lo fácil que es desarrollarlos con un ordenador
los ha vuelto muy populares y ha permitido el despliegue de una original
línea de investigación a nivel plástico que ya cuenta
con exposiciones internacionales itinerantes. Pero los científicos
intuyen que los fractales esconden mucho más que goce estético
potencial y que probablemente en ellos radiquen fórmulas capaces
de medir lo irregular y de analizar sistemas en movimiento. Las aplicaciones
de ideas tan abstractas no se hacen esperar: los fractales parecen capaces
de indicar si los mercados de valores se pueden predecir, de simplificar
las telecomunicaciones, de medir la rugosidad de las fronteras o la porosidad
de suelo, y de describir las ramificaciones de venas y arterias en los
animales.
La geometría de los sistemas caóticos
Una de las sorpresas mayores brindadas por
los fractales surgió del análisis de los sistemas dinámicos,
es decir del estudio de cómo evolucionan las cosas y de cómo
varían sus magnitudes en el tiempo. En los sistemas considerados
caóticos las magnitudes varían de forma errática y
aparentemente impredecible. Pero grande fue la sorpresa de muchos científicos
al representar geométricamente las variaciones de algunos sistemas
caóticos y encontrar que aparecían fractales, o sea figuras
que contenían infinitas copias de sí mismas, a una escala
cada vez menor, lo que revelaba que el todo estaba comprendido en las partes.
Esta suerte de "muñecas rusas" geométricas, compuestas por
fragmentos autosemejantes, brindan claves de gran valor para predecir futuros
comportamientos ya que permite suponer que vendrá después.
Los reductos del orden
¿Dónde se esconden las
regularidades? ¿En todas partes o sólo en algunos lugares
privilegiados? ¿La frecuencia de aparición de ciertos números
de lotería podrá ser algún día graficado como
un fractal o siempre darán figuras irregulares? ¿Y la evolución
de los valores de Bolsa?
Actualmente numerosos centros
de investigación se encuentran abocados a tratar de delimitar cuáles
son los reductos del orden en el universo del caos.
Aunque sin beneficios económicos
evidentes los fractales han sido de gran utilidad para la geografía.
Uno de las primeras aplicaciones prácticas de la teoría de
los fractales ha sido la de caracterizar fronteras. Así se ha descubierto
por ejemplo, que la costa de Noruega tiene una dimensión fractal
de 1,5 mientras que el límite entre Galicia y Portugal presenta
una dimensión fractal de 1,3.
También tienen dimensiones
fractales la distribución de la materia en el universo, el desarrollo
de las raíces de las plantas, y la distribución de las arterias.
La naturaleza recurre en
ocasiones a formas como la esfera de las gotas de agua (mínima superficie
a igualdad de volumen) o la línea recta (el camino más corto
entre dos puntos) pero en muchos casos la estructura privilegiada es una
fractal, la geometría de formas irregulares.
Los campos de investigación que involucran
a la teoría de los fractales se multiplican día a día,
afectando progresivamente los estudios sobre superconductividad, termodinámica,
electromagnetismo, porosidad de los suelos, absorción de nutrientes
en las plantas, y en las matemáticas, iluminando algunos fenómenos
de iteración de polinomios complejos.
Mandelbrot, el padre de los fractales
Formalmente se le atribuye a Benoît
Mandelbrot -un investigador que en los años 60, cuando realizó
su descubrimiento, trabajaba en el Centro Thomas J. Watson de la IBM- la
invención de la teoría de los fractales. Sin embargo, Mandelbrot
no hizo más que rescatar del olvido ciertos experimentos desarrollados
a fines del siglo pasado y a comienzos del presente, por matemáticos
como Von Koch, Cantor, o Sierpinski. Si bien varios matemáticos
ya habían concebido los fractales en su cabeza e incluso habían
llegado a definir sus propiedades ninguno antes de Mandelbrot había
podido admirar sus resultados por carecer de instrumentos técnicos
adecuados. Recién con el desarrollo de computadoras capaces de calcular
a gran velocidad y mostrar la representación de sus fórmulas
fue posible la creación artificial de fractales. Hace un siglo se
podía soñar y especular pero no experimentar con estos objetos
matemáticos.
Algunos fractales reproducen
la misma estructura a cualquier escala, o sea, que al amplificar un trocito
de la figura inicial se reproduce la misma formación, por lo que
se los denomina autosemejantes. Otros guardan dentro una variedad infinita
de figuras, que al ser ampliadas revelan imágenes que recuerdan
caracolas, caballitos de mar, cristales de nieve, o fósiles antediluvianos.
Aunque la mayoría de las
personas no conozcan su nombre los fractales son desde hace años
un lugar común en los efectos especiales de las películas
de ciencia ficción ya que configuran una alternativa ideal para
la confección de paisajes alienígenas sintéticos.
Algunos ejemplos de este recurso pueden ser encontrados a lo largo de la
saga de Star Trek o en El retorno del Jedi de George Lucas.
Pero la tecnología ha encontrado
también otras vías de aplicación de la teoría
de los fractales que no se remite a la producción de formas geométricas
atractivas y que busca aprovechar sus principios en los mecanismos de telecomunicación.
La transmisión convencional de
una imagen exige recorrer todos sus puntos digitalizarlos, enviar la información
al otro lado de una línea de telecomunicaciones y reproducirla.
Hay que transmitir mucha información y es un método lento.
Con fractales se intenta hallar un orden en la información de una
imagen y simplificarla representando trozos que se pueden reconstruir en
el receptor ahorrando gran cantidad de puntos digitalizados.
Como sucede con todo descubrimiento
nuevo, los fractales han suscitado hasta ahora un número mayor de
especulaciones que de conocimientos certeros. Tal vez se esté esperando
de ellos más de lo que pueden dar efectivamente pero sus promesas
son tan seductoras que ya no es posible sustraerse a la fascinación
de su exploración.
DEFINICIÓN (semitécnica) DE UN FRACTAL:
Un fractal es toda figura (conjunto de puntos) definida por las siguientes
propiedades:
1) Autosimilitud: El total del conjunto puede dividirse en partes
tan pequeñas cuanto se desee y estas partes representan una copia
del total. Podríamos decir que en un fractal, la forma no depende
de la escala.
2) La dimensión del conjunto no es un número entero.
En general, para un conjunto C que tenga la propiedad de ser dividido en
N partes, cada una de las cuales al ser magnificada por un factor M coincide
con el conjunto total, se define la dimensión de C como el número
log(N)/log(M).
Ejemplos gráficos de fractales
:
Les presentamos dos ejemplos de software para generar fractales
-uno muy sencillo y a la vez claro- extraído de una publicación
inglesa sobre el tema, y el otro (mi favorito) es el programa FRACTINT
, que puede ser bajado en http://spansky.triumf.ca/www/fractint/fractint..htm.
Fractales y Música:
Se han encontrado estructuras de tipo fractal en obras musicales
clásicas de compositores como Bach y Mozart (ver por ej. el trabajo
de HsÜ y HsÜ: "Autosimilaridad del "ruido 1/f llamado música"
en Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 88, pp.3507-3509, April 1991).
Es muy sencillo generar música fractal, simplemente tomás
tu secuenciador preferido, elegís una melodía (en una o varias
pistas), la copiás y le editás la longitud, la invertís,
etc..Acá les presento algunos ejemplos sencillos, generados con
el Cakewalk. A ustedes les dejo el análisis y -por supuesto-, la
posibilidad de mejorar el material según su criterio estético,
que de eso se trata. Tip: Ir haciendo mute en c/u de las pistas, para ver
mejor de qué se trata. Existen sitios especializados en la Net acerca
del tema , como por ej.:
The
Well Tempered Fractal
Divertíos!
Otros Links:
Muestras de imágenes fractales
Figuras
de Imágenes Fractales generadas con el soft Mathematica
Fractales y Mística (muy recomendable!)
con la invalorable colaboración de Juan
E. Fernández Romar
MINI CV: Químico, Docente
de Bioquímica en la Facultad de Ciencias,
Músico guitarrista MIDI (integrante de varios grupos ignotos:
Duna, La Rochamota,
Kirlian
, Mandala -en Francia- , Fractal , Sergio
Fernández Group , Makè-Makè
y Nagual.
(Actualmente desocupado).
|
imagenes
|
midifractales